Mall

Beträffande begreppet hastighet i historien

Galilei och den skolastiska traditionen

Pierre Souffrin – Cerga centre d’Études de Recherche en Géodynamique et Astrométrie / Grasse et Université de Nice

Resumé

Den centrala roll som hastigheten i ögonblicket spelar i mekaniken och dynamiken efter Galilei – och på ett visst sätt även hos Galilei själv – har förlett historikerna att bortse från betydelsen av den holistiska (eller globala) hastigheten i rörelseteorins historia. Detta holistiska begrepp förekommer och ingriper i Galileis försök med förhållandet mellan rörelsen och det statiska ögonblicket (momentum ponderis) när det gäller ett rörligt föremål på ett sluttande plan eller om man så vill lutningen av ett plan. De galileiska texter som behandlar denna fråga uppvisar vissa gemensamma och anmärkningsvärda drag : de sträcker sig tidsmässigt över hela Galileis verksamhet och förblir väsentliga i hans nedtecknade verksamhet, samtidigt som historikerna i allmänhet betecknar dessa texter som dunkla, osammanhängande eller helt enkelt matematiskt felaktiga.

Jag vidhåller att dessa texter förblivit oförstådda på grund av en falsk uppskattning, schematiskt under pressen av den efter-newtonska läsningen av termerna velocitas/velocità hos Galilei. Undersökningen av historien (eller historierna) om begreppsuppfattningen av holistisk hastighet har fört mig till en sammanhängande och sammanhållen tolkning av dessa texter, genom att återföra dem till den galileiska betydelsen av hastighet inom ramen för den skolastiska uppfattningen av rörelsemekaniken.

Denna uppfattning belyses här av kapitel 14 i ’De motu antiquori’, den äldsta och den viktigaste representanten för de texter som bestridits.

I – En nödvändig (re-)vision av rörelsemekanikens historia

En hastighet utan historia

Både i vetenskapens historia och i filosofins har begreppet hastighet drabbats av en egendomlig och samstämmig uppfattning som lett till att inte en enda särskild studie har ägnats åt den.

Detta är ganska anmärkningsvärt då det gäller en av dess grundläggande begrepp, nämligen begreppet rörelse, vars historia är lika gammal som filosofins (denna text ägnar sig åt motus localis ; den skulle inte kunna försvaras om man intresserade sig för underlaget till en teori om rörelsen, vilket inte är målet för denna studie). Aristoteles förutsätter i sin Fysik något som inte förändrats med tidens gång : att det inte finns någon naturvetenskap utan rörelsevetenskap. Otaliga studier har ägnats de historiska begreppen rymd och tid, betydelsefulla verk, utan tvivel, om begreppet kraft, om impetus eller momentum. Hastigheten själv som det centrala objektet i rörelsemekaniken har aldrig ägnats någon fördjupad historisk studie annat än i den särskilda betydelsen av storlek och mått på rörelsen i ögonblicket ; med andra ord det är bara i form av ögonblickets hastighet som hastigheten har ansetts kunna utgöra ämne för vetenskaplig historia. Denna historia har alltså funnit sig sammanförd med den som i sin matematisering härleds från förhållandet sträcka under förlupen tid L/T och på det sättet begränsats till det – utan tvivel viktiga – området för den infinitesimala analysen.

Men det är så att den kvantitativa analysen av rörelsen vida har föregripit de första teoretiska föreställningarna om ögonblickets hastighet. Aristoteles ger, tror jag, i sin Fysik den enda ursprungliga matematiseringen av dess natur i hela corpus aristotelis ; han betecknar måttet på rörelsen med de substantiv som i den latinska översättningen givits med velocitas eller celeritas genom vilka de blivit kända i Occidenten. Man vet att i den aristoteliska vokabulären möjligheten till ett ”ögonblickets hastighet” är utesluten och att det i alla diskussioner bara rör sig om rörelse betraktad med en viss utsträckning ; med en viss varaktighet och i varje fall inte är fråga om någon form av ögonblicklig rörelse. Jag skall i fortsättningen kalla denna rörelse holistisk i motsättning till ögonblicklig, varje begrepp om rörelse som står i förhållande till en viss varaktighet.

Det holistiska måttet på rörelse är alltså mycket tidigare än de första försöken att bestämma ett begrepp om hastigheten i ögonblicket. Det är inte förrän inom ramen för skolastikens tänkande som den intensiva kvaliteten framträder på 1300-talet vid sidan om det holistiska begreppet velocitas, en teoretisk idé om ögonblickets hastighet kallad gradus velocitas.

Historikerna tycks inte ha förvånat sig över avsaknaden av varje spår av historia om den holistiska rörelsen och de har ännu mindre ägnat sig åt att finna någon. Den naturliga, om än inte den goda förklaringen är att man allmänt kommit överens om att detta holistiska begrepp saknar historia. Vi skall se att denna inställning uppenbarligen grundar sig på den aldrig ifrågasatta övertygelsen att det i historien inte existerat mer än ett och bara ett meningsfullt holistiskt begrepp, nämligen det som numera betecknas som medelhastighet och som matematiserats under formen förhållandet L/T förflyttat avstånd under förfluten tid. Det framgår av följande exempel, tolkningen av en nyligen publicerad utgåva av Aristoteles Fysik : ”What Aristotle calls ’speed’ is just what ordinary people would call ’speed’. As a mathematical quantity, it is defined as the ratio of distance to time. Though ratios where not treated as numbers there is evidence to suggest that the Greek mathematicians of the fourth century (BC) were able to operate freely of time, defined by a ratio between two numbers (with suitable units of distance and time).”

Man kan se att författaren utan skuggan av tvivel eller nyansering förser Aristoteles med just det holistiska begrepp av hastighet som man finner i de allra flesta moderna lexika och uppslagsverk under ordet ’hastighet’. Men de aristoteliska texterna bekräftar tydligt att det finns två kvantitativa hastighetsbegrepp ; och vi skall se att inget av dem på något sätt motsvarar förhållandet mellan tidslängd och förflyttning, det vill säga vår medelhastighet.

Den holistiska uppfattningen av hastighet har i själva verket en historia och avsikten med denna artikel är att just klarlägga dess karakteristika genom att noga följa den väg denna undersökning har utvecklats sig efter ; det vill säga genom att tydliggöra innebörden av ordet velocitas så som den framstår i de texter som finns att tillgå. Uppenbarligen gäller det förekomsten av dessa termer utan något tillägg eller någon specifikation (som gradus eller intensio) i vilka de betecknar ett holistiskt mått på rörelsen.

Om översättningen av velocitas

Problemet med att översätta velocitas är detsamma som i följande exempel :

Ett naturligt sätt att översätta ’velocitas’ är att föreställa sig att det är ett latinskt ord och att söka dess översättning i ett latinsk-franskt lexikon (för vår del i ett latinsk-svenskt lexikon). Vid sidan av betydelser utanför vår undersökning finner vi betydelsen vitesse (hastighet). Samma resultat når vi med vilket annat samtida lexikon som helst ; tyska ger till exempel Geschwindigkeit som i ett tysk-franskt lexikon ger ordet vitesse (tysk-svenskt hastighet). Man leds alltså (utan att förvånas) att översätta velocitas med vitesse/hastighet.

Under vilka förhållanden kan man säga att den översättningen är korrekt ? Ett minsta krav torde vara att ett latinskt lexikon ger – på latin – en förklaring av velocitas som översatt till franska (väsentligen) sammanfaller med förklaringen (-arna) som på franska ges av ett lexikon på det franska språket.

Uppenbarligen måste en trogen översättning av denna betydelse göras från latinet med ett samtida lexikon eller överenstämma i detta fall med samtida lexika och med skriften som man översätter. Det franska (eller andra samtida lexika) som man använder bör däremot vara modernt, eftersom det bör tydliggöra antingen idéerna eller meningen med vitesse/hastighet för en modern läsare.

Det är en klassisk anmärkning – i filosofins såväl som i vetenskapernas – historia (er) att det råkar uppstå ’felaktiga’ översättningar på det sättet. Till exempel kan man ta det aristoteliska begreppet corruptio som till franska översätts med corruption (svenska korruption) i en modern översättning ; denna översättning försvaras med att läsaren väntas vara tillräckligt insatt i den grekiska filosofin för att känna till att corruption/korruption i en filosofisk text av Aristoteles har en helt annan betydelse än den man finner i ett nutida franskt/svenskt lexikon. Den som inte vet detta är försiktig och undviker missförstånd genom att läsa något verk som presenterar Aristoteles filosofiska värld ; man kan till och med förutsätta att den franska/svenska (?) översättningen innehåller element som tillåter att uppfatta den rätta innebörden av termen för att rätt kunna uppfatta dess betydelse.

Helt annorlunda ställer det sig med det begrepp som vi sysselsätter oss med. Ingen historisk eller filosofisk tradition förbereder läsaren på möjligheten att begå felaktigheter i betydelsen av velocitas i en holistisk betydelse. Det tycks råda en anmärkningsvärd vetenskaplig naivitet i historikernas sätt att betrakta det holistiska begreppet hastighet som enkelt och betydelselöst ; och matematiseringen av ögonblickets hastighet med termer som härleds ur avståndets förhållande till tiden, som den enda korrekt möjliga matematiseringen. Det är ett faktum att vetenskapernas – och filosofins – historiker systematiskt översätter velocitas med vitesse/hastighet i en av de betydelser som ordet har för närvarande i rörelsemekaniken och detta oberoende av vilken epok denna text tillhör. Men den ram inom vilken vi nu tänker oss den teoretiska rörelsemekaniken är den tradition som formulerades som en följd av den infinitesimala analysen och jag kommer i fortsättningen att benämna den som den klassiska traditionen : i denna tradition är begreppet betecknat som velocitas utan tillägg och det holistiska måttet är härlett ut hastigheten L/T det vi kallar medelhastighet (Newton : ’Velocitas est motus, ac tarditas remissio ujus’).

Denna mekaniskt moderna överföring av begreppet betraktar historikerna som en rustning utan sprickor när man översätter velocitas med innebörden ögonblickets hastighet eller förhållande L/T (eller liknande i det formella språk som gällde för epoken då texten är författad) och där det är underförstått att det är en holistisk innebörd som avses. En kritisk granskning av denna uppfattning får mig att jäva den när det gäller texter från – säg – den andra halvan av 1600-talet och framhålla vissa sidor av rörelsemekanikens teori som okunnighet i historiciteten av terminologin som hittills blivit undanskymd (övers. betonar att det franska ordet ’ignorance’, som författaren använder saknar svensk motsvarighet – utan att detta anges i lexikon ; på franska är okunnighet en underlåtenhetssynd ; på svenska är det en ursäkt ; se föregående översättningsutredning).

En konvention för att representera velocitas

Med dessa förutsättningar kan översättningen av velocitas som vitesse/hastighet jämföras med översättningen av corruptio med corruption/korruption som okunnig om den tradition som övergivits men som hävdats under en lång historisk epok och som haft inflytande på skolastiska texter – jämförda med den moderna uppfattningen. Den uppenbara betydelse detta har ur semantisk och terminologisk synpunkt, har med nödvändighet fått mig att benämna velocitas utan att föreslå en modern översättning : jag skall i fortsättningen använda tecknet /velocitas/ för att benämna alla former av det latinska velocitas.

II - /Velocitas/ i den antika och medeltida rörelsemekaniken

Begreppsförklaringarna eller motsvarande uttalanden om innebörden av /velocitas/ i de gamla texterna är anmärkningsvärt fåtaliga. Det är likadant när det gäller den likformiga eller icke-likformiga rörelsen, vars förhållande till det antagna begreppet /velocitas/ är signifikativt (har betydelse). Utan tvivel är detta ett återsken av en ursprunglig, låt oss säga en första ordningens, behov av begreppet ifråga. Man kan föreställa sig att praktiska behov av likformighet eller icke-likformighet i hastigheten utbildats sig långt innan det uppstått ett behov av att formalisera och utarbeta begreppsverktyg som gjorde matematiska uttryck möjliga. Med sådana förutsättningar förefaller de jämförande uttrycken (termerna) att, i de gamla texterna, tillhöra ett slags metaspråk som väl kan tjäna att definiera med, men som det inte passar att definiera.

Det centrala begreppet är här uppenbart rörelse och man vet att Aristoteles försök att bestämma vad detta är, är ensamstående i filosofins historia. Ett faktum är dock att det finns direkta eller underförstådda definitioner i de uttryckligt teoretiska texterna.

Helt kortfattat ger jag här nedan de berörda texter som jag kunnat finna vid en undersökning och utelämnar med avsikt astronomin. De representativa texterna är återgivna i sin latinska översättning, som motsvarar det sätt på vilket den hellenska traditionen blev emottagen (i den skolastiska traditionen) och alltså är ett uttryck för hur denna vokabulär uppfattades och vars betydelse vi sett ovan. De föreslagna omskrivningarna visar tydligt vid behov vad som är min egen uppfattning av dem.

Likformig och lika /velocitas/

Hänvisningen till likformig rörelse omfattar /velocitas/ av skilda slag. När den uttrycker olika slags likformighet i rörelsen i Fysik anser Aristoteles rörelsen likformig om /velocitas/ ’är densamma’, men man får i den hänvisningen inte veta hur detta måste uppfattas eller på vad sätt man kan tolka ’densamma’ i /velocitas/ alltså likformigheten. Man får en hänvisning i ett annat avsnitt av Fysik där Aristoteles betraktar en likformig rörelse som sägs ha lika /velocitas/. Den begärda egenskapen är att ett givet avstånd som tillryggaläggs på en given tid mångfaldigat ger samma mångfald av samma förlupna tid. Det är proportionaliteten mellan tillryggalagd väg och förlupen tid, men i detta fall är det allt. Det som gör tillhörigheten utan betydelse är att lika väg motsvarar lika tid. Det är det krav som man ställer för att säga att det rör sig om en likadan rörelse eller att den är lika snabb. För att man skall tala om samma /velocitas/ krävs alltså att samma väg skall tillryggaläggas på samma tid (som tidigare).

Man kan inte lika slutgiltigt bekräfta att Aristoteles behandlar en rörelse som likformig i sin Fysik . Den första passagen är svårtolkad. Det verkar emellertid som om det rör sig om samma påstående som i det följande stycket i det här speciella fallet i förhållandet. Den andra delen av stycket uttrycker i alla fall utan tvekan att lika /velocitas/ innefattar likhet i tillryggalagd väg under samma tid.

Boken ”Sfärer i rörelse” av Autolycos är snarare en avhandling om rörelsemekaniken än om astronomin, även om det astronomiska perspektivet är uppenbart. Förutsättningen har betraktats som sen skolastik ; den bekräftar ancenienniteten i de äldsta manuskripten som hör hemma i 800- 900-talen ; en definition av likformig rörelse utan att nämna /velocitas/ och proportionaliteten mellan avstånd och tid för vilka förhållanden som helst, men under en mer allmän form än hos Aristoteles.

Heron av Alexandria definierar i Mekanikerna likhet i /velocitas/ hos två rörelser likaledes genom jämförelse av lika varaktighet. Rörelsens natur är inte beskriven och texten innefattar inte a priori likformighet, utan att man kan bekräfta att en mer allmän omfattning finns i författarens avsikter.

Stycket i Arkimedes Proposition 1 i boken Spiraler är särskilt intressant för oss genom att, som vi senare kommer att se, detta påstående nästan ord för ord är återgivet av Galilei i den tredje dagen av Discorsi. Arkimedes refererar inte direkt till /velocitas/, om det inte är genom benämningen av den likformiga rörelsen (som latinet ordagrant återger som equevelociter).

Texten innebär att med ”uniform” eller ”med lika hastighet” bör förstås som jämbördigt med ”förflyttning över lika avstånd under lika tidrymd”.

Slutligen texterna av Swineshead och Heytesbury bekräftar denna samma definition under 1300-talet hos Oxfordianerna.

Man kan sammanfatta denna diskussion i de funna texterna :

- att likformig rörelse är definierad, i den slutliga analysen, inte genom att hänvisa till /velocitas/ men genom likheten i tillryggalagd väg under lika lång tid

- två rörelser sägs ha lika /velocitas/ om under lika tid

den förflyttat lika avstånd. Denna definition av likheten

mellan /velocitas/ tycks inte vara begränsad till jämförelsen

mellan likformig rörelse

- i de berörda texterna spelar jämförelsen mellan rörelserna

över intervallet av lika tid en avgörande roll i uppfattningen av

likformig rörelse och i lika rörelse av /velocitas/.

Måttet eller förhållandet mellan skilda /velocitas/

Bestämningen av likhet mellan skilda /velocitas/ i två rörelser är inte en bestämning av måttet på rörelsen eftersom den inte säger något om förhållandet mellan två rörelser utom när det gäller den likhet som den definierar. De olikheter av vilka Galilei skall göra axiomen 3 och 4 i sin

De Motu Æquabili, och som intygas genom hela litteraturen sedan åtminstone Aristoteles, räcker inte för att på ett entydigt sätt utsträcka denna definition så långt som till likhet : om en bestämning av förhållandet mellan skilda /velocitas/ är utbytbar med likhet eller med icke-likhet i denna fråga, skulle den vara detsamma vid varje återupprepat tilltagande funktion av /velocitas/ bestämd på det sättet.

De texter som förklarar förhållandet på måttet av skilda icke-lika /velocitas/ visar en mer sammansatt situation. Orsaken är en grundläggande aspekt av det begrepp som man arbetar med : mäta är att sätta i förhållande två (eller flera) jämförbara situationer, under alltigenom specificerade förhållanden, och om problemet är av den arten att den innefattar skilda sätt att jämföra, kan måttet få olika storlek. Det är exakt vad som är fallet när man mäter rörelser : texterna intygar två mått, motsvarande respektive jämförelsen av rörelsen med i ena fallet lika intervall och i det andra lika väg.

a) Skilda /velocitas/ förhåller sig till varann som tillryggalagd väg

under samma tid.

I det fallet, som är det oftast förekommande, där rörelserna jämförs under samma varaktighet mäts förhållandet mellan olika /velocitas/, eller om man så vill definieras förhållandet mellan en jämförelse av den tillryggalagda vägen under samma intervall.

Denna definition, eller karakteristiska tillhörighet, kan ges under skilda former mer eller mindre vanliga, beroende på den situation som bedöms, vad författaren sysslar med och stilen i hans diskussion. Sålunda nöjer sig Aristoteles i sin Fysik att säga att en dubbel /velocitas/ för två gånger så långt under samma tid ; och en /velocitas/ som är en och en halv gång så stor en och en halv gång så långt. Den påtagliga följden är att för var och en av de två rörelserna är den proportionell till varaktigheten, det vill säga att de är likformade ; texten tillåter oss inte att avgöra om i Aristoteles sinne förhållandet mellan de skilda /velocitas/och avstånden tillryggalagda under en och samma tid är fristående från likformigheten eller inte i rörelsen. Vi kan bara konstatera att Nicolas Oresme tolkar den här passagen på ett vidsträckt sätt : å ena sidan är proportionaliteten inte längre begränsad till rationella förhållanden mellan /velocitas/, och å andra sidan finns inte någon referens till likformigheten. Gérard de Bruxelles uttrycker på samma sätt förhållandet mellan /velocitas/ tydligen under vilka förhållanden som helst. Här handlar kanske texten åter om likformig rörelse, men det kan inte formellt bekräftas och det är i varje fall inte fråga om att utsätta denna mätning för någon som helst demonstration ; det handlar antingen om en ursprunglig tillhörighet eller ett påstående om själva substansen hos /velocitas/ ; för att vara betydelsefull är den inte föremål för vår frågeställning. Hos Swineshead ges samma definition uttryckligt när det handlar om likformig rörelse.

Dessa texter uttrycker dock alla under mer eller mindre allmän form, samma uppfattning om förhållandet mellan två /velocitas/, alltså måttet på en /velocitas/ är grundat på jämförelsen av rörelser under samma tidsintervall.

b) Olika /velocitas/ förhåller sig omvänt som tiden för deras lika tillryggalagda väg.

De två påståenden som finns i Bradwardines bok De continuo visar tydligt hur det föreliggande problemets natur påverkar till och med definitionen på måttet i den medeltida rörelsemekaniken. I själva verket föreslår Bradwardine två definitioner på måttet av förhållandet mellan /velocitas/, enligt vilka rörelsen betraktas under samma tidsintervall eller samma utsträckning. Ingenting tillåter att uppfatta att Bradwardine där särskilt skulle behandla likformiga rörelser och det gäller tydligt två skilda definitioner som tillämpas på icke-likformiga rörelser, utan att generellt ge samma förhållande.

Denna bestämning av /velocitas/ som omvändningen av förhållandet mellan tiderna för samma väg verkar att vara mycket mer sällsynt än den som innefattar jämförelsen under samma tid. Jag skall nämna vad som kan orsaka en sådan situation i slutet av det här kapitlet ; ändå är det så att jag för den epok som vi talar om bara har funnit ytterligare två tillfällen av denna andra bestämning av /velocitas/.

Den äldsta är Aristoteles diskussion om hastigheten hos samma kropp under fall i två skilda miljöer. Jag menar (i motsats till den allmänna meningen) att det är svårt att hålla fast vid att han anser en kropps fall i en och samma miljö är densamma, därför att han i Om himlen tycks föreställa sig att det bli allt snabbare allteftersom kroppen närmar sig jordcentrum. Där finns alltså en tillfällighet som är av stort intresse för vår undersökning en uppfattning om /velocitas/ som icke-likformig, dessutom i en betydelsefull text hos Aristoteles.

Det tredje tillfälle som jag kunnat finna av denna uppfattning om /velocitas/ finns i den redan citerade texten av Oresme. I det fallet handlar det inte om lokal rörelse, men om förändring i generell aristotelisk mening av termen ; jag anser att man kan betrakta det som ett argument för att likformighet inte är nödvändig för framställningen.

Jag skall ta risken att ställa denna hypotes : orsaken till att den vanligast förekommande observationen av mätningar grundade på lika tid antagligen inte är beroende på de valda texterna som citerats. Man skulle kunna förmoda, för att förstå dissymetrin, det faktum att tiden är den enda utsträckning som är gemensam hos de aristoteliska förändringarnas kategorier, och att motus localis ännu inte har nått den enastående betydelse som den fick under slutet av 1500-talet. Men den möjligheten förefaller emellertid inte vara avgörande ; jag föreställer mig snarare att orsaken bör sökas inom problemet med motus localis i den dåtida tekniska förmågan att mäta förhållanden i längd jämfört med förhållanden i tid. När allt kommer omkring kräver jämförelsen i längden på två tillryggalagda avstånd med olika hastighet under samma tid inte någon klocka, i motsats till måttet av förhållandet mellan tiden och en bestämd väglängd.

Det är kanske nödvändigt att berättiga frånvaron av referenser i denna diskussion om teorin som gäller Configurations av Nicolas Oresme. Vad beträffar teorin om måttet är denna teori helt ensamstående och i grunden nyskapande ; dess väsentliga frågeställning är förhållandet mellan det holistiska måttet och intensiteten och man kan inte kalla detta verk för representativt för den skolastiska rörelsemekaniken. Man kan åtminstone visa att den befinner sig i samma begreppsliga rymd och vi kan dra samma slutsatser vad det gäller den tradition som den bär vittne om. En sådan diskussion skulle emellertid gå utanför ramen för denna diskussion och jag hänvisar läsaren till speciella studier som är ägnade detta ämne.

Jag tar som slutsats av detta kapitel bara upp de texter som

undersökts

- /velocitas/ betecknar ett begrepp av det holistiska måttet

på rörelsen

- enligt den fråga som ställs innebär måttet en jämförelse på

rörelser under lika varaktighet eller lika förflyttning, och de

resulterar i två olika betydelser av /velocitas/

- den vanligaste betydelsen är den som definieras med uttrycket :

”olika /velocitas/ förhåller sig till varandra som den olika

förflyttningen under samma tid”

eller med ett uttryck av samma innebörd i teorin om

proportioner.

III - /Velocitas/ i rörelsemekaniken samtida med Galilei

Den största förvirringen i de moderna tolkningarna gäller de fall av /velocitas/ i texter om rörelsemekaniken som förekommer från slutet av 1500-talet till och med den första halvan av 1600-talet. Särskilt när det gäller texter av Galilei och den italienska skolan, är förekomsten av /velocitas/ eller /velocità/ (utan särskild kvalifikation naturligtvis) som jag tidigare anmärkt, systematiskt tolkade antingen som ögonblicklig hastighet eller som förhållandet L/T tidrymden i förhållande till vägsträckan, det vill säga det vi menar med medelhastighet. Denna läsning innebär inte någon olägenhet när det gäller texter som är tillräckligt föga tekniska för att den exakta betydelsen av /velocitas/ skall inverka ; vid sådana tillfällen verkar texten vanligtvis felaktig och historikerns kommentar består då i att bestyrka detta genom att rätta ”misstagen”. Den möjlighet att /velocitas/ ända till slutet av den historiska perioden skulle täckas av exakt det holistiska begrepp som vi har mött i den skolastiska rörelsemekaniken har det inte funnits någon misstanke om. Jag har kommit till den slutsatsen genom att gå igenom en klass av omtvistade galileiska texter bedömda efter den vanliga läsningen, vars innebörd av /velocitas/ får klarhet och sammanhang genom den uppenbara tolkningen i föregående kapitel. Det har fått mig att lägga märke till att en ny läsning av /velocitas/ ledde till sammanhängande läsning av alla de texter jag kunnat konsultera som stammar från slutet av 1500-talet och första halvan av 1600-talet. Jag har dragit den slutsatsen att min tolkning var åtminstone lika sannolik som de förhärskande tolkningarna och mer tillfredställande när det gäller de framförda galileiska texterna. I det fallet gällde det emellertid bara ett ”indirekt bevis” som man alltid kan ifrågasätta även om man inte kan förkasta det. En systematisk undersökning i de De motu som skrivits omkring år 1600 har till slut ställt mig inför texter som på ett otvetydigt sätt visar att den allmänna tolkningen av /velocitas/ ända till mitten av 1600-talet verkligen var i den tradition som jag beskrivit.

Jag skall i fortsättningen med en berömd text av Galilei visa såväl förvirringen i de vanliga texterna som hur återgången till den historiska tolkningen av holistisk hastighet som föreslås här upprättar textens sammanhang. Det förefaller mig lämpligt att innan dess samla resultaten av min undersökning så här långt.

IV – Den för-klassiska traditionen i den teoretiska rörelsemekaniken

Modellen för den för-klassiska traditionen och för-klassiska definitionen av /velocitas/

Jag vidhåller alltså att man skall lägga märke till närvaron av en tradition som sträcker sig över mer än tjugo sekler av ett holistiskt begrepp vid mätningen av en i huvudsak oförändrad rörelse. Även när man räknar med de goda resultat i den historiska undersökningen som nåtts i förhållande till ögonblickets rörelse, som är i grunden annorlunda än den klassiska traditionen. Det tydliga sambandet mellan de olika dragen i förutsättningarna för denna tradition syns mig berättiga att de samlas under ett namn som jag föreslår döpt till den ”för-klassiska traditionen i rörelsemekanikens teori”.

Låt oss sammanfatta denna för-klassiska traditions karakteristika :

Det fundamentala begreppet för måttet på rörelsen är det

holistiska måttet

det är detta holistiska mått som betecknas med /velocitas/ utan

speciell angivelse (eller av ekvivalenta termer som celeritas eller

motus). Begreppet ögonblickligt ”lokal”, betecknas (från det att

det uppstått) med ett särskilt uttryck av /velocitas/ som i

intensio motus, gradus velocitas, eller velocitas instantanea, eller

med helt andra uttryck (impetus momentum).

Den holistiska mätningen tillåter olika innebörd beroende på

vilken karaktär problemet har i den rörelsemekaniska studien.

Två skilda tolkningar finns tillgängliga i denna tradition,

beskrivna antingen som

”olika /velocitas/ förhåller sig omvänt som tiden för rörelsen i

förhållande till skilda väglängder”,

och av

”olika /velocitas/ är förhållandet mellan väglängderna som

uppnåtts under samma tid”

eller ekvivalenta former i proportionsteorins termer.

Ingen av dessa former innebär a priori likformighet i rörelsen.

Det är klart att den ena så väl som den andra har använts vid

lösningen av problem med icke-likformig rörelse under första

delen av 1600-talet.

Beskrivningen av betydelsen för uttrycket ”olika /velocitas/

förhåller sig till varandra som den vägsträcka som

tillryggalagts under samma tidrymd ” är den allra vanligaste

under den förklassiska traditionen av rörelsemekaniken.

Jag kommer i fortsättningar kalla den för-klassisk standard-

definition.

En nyckel att läsa med

Nyckeln består av att i texter som skrivits under den för-klassiska perioden lägga märke till att texten

”/velocitas/ är så här stor”

i detta sammanhang vanligen innebär antingen

”sträckorna som tillryggalagts under samma tidrymd är i förhållande till varandra som dess storheter”

eller :

” tiderna för en viss sträcka har mellan sig detta förhållande…”

Schematisk tablå över begreppet /velocitas/

FÖR-KLASSISK TRADITION KLASSISK TRADITION

för-modern skolastisk

och modern

/velocitas/ /velocitas/

+ kvalifikation

intensio velocitas eller fundamentalt

ögonblick- gradus velocitas eller ensamstående

ligt mått utan objekt velocitas instantanea begrepp (härlett ur :

på rörelsen intensio motus etc. ds/dt)

härlett begrepp, härlett

ur den holistiska upp-

fattningen

/velocitas/

mångfaldigt grundbegrepp /velocitas/ + kvalifikation ;

holistiskt anpassat till föreliggande unikt begrepp härlett ur

mått på problem ögonblickets hastighet genom

rörelsen (två ursprungliga betydelser medelräkning (L/T)

med den för-klassiska stand-

arden övervägande)

definition lika sträcka konstant /velocitas/

på likformad under samma tid (i ögonblicket)

rörelse

När jag samlat de nya propåerna och de i övrigt väl kända elementen i rörelsemekanikens historia är jag beredd till en översikt som återstår att fördjupa i form av en schematisk tablå (tabell 1)

Övergången mellan de två stora traditionerna tycks ha sträckt sig över en stor del av den senare halvan av 1600-talet. Den är bara delvis behandlad i mekanikens historia vilket förorsakat underskattningen av det holistiska måttet.

V. – rörelsen längs ett sluttande plan i De motu antiquiora av Galilei

En text från Galileis ungdom är särskilt lämpad att framställa det historiska problem som vi nämnt här. Det är ett studium av en vägande kropp – av en <gravis> – som står att finna i kapitel 14 av De motu antiquiora det äldsta kända manuskriptet av Galilei om rörelseteorin.

Galilei ställer frågan rörelsen hos samma rörliga kropp utefter olika lutande plan ;

1) varför blir /celeritas/ större när lutningen blir större ? 2) vilket är förhållandet mellan skilda motu hos två plan med olika lutning ?

Låt oss för att undvika alla missförstånd först slå fast att om denna text nästan alltid använder ordet /celeritas/ för måttet på rörelsen finns det ingen nyansskillnad när /velocitas/ ersätts med /celeritas/ på flera ställen av De motu ; på samma sätt som när det gäller rörelsen ”motus” exakt överenstämmer med /celeritas/ eller med /velocitas/.

Den geometriska figuren som framställer problemet i vår diskussion ser ut så här :

Texten berättigar till en analys, men rätt uppfattning om vad /celeritas/ innebär är uppenbart nödvändig.

Vad som i det avseendet berör oss är Galileis svar på den andra frågan.

Galilei gör först det här påståendet :

/celeritas/ längs ef har samma förhållande till /celeritas/ längs gh… som qs till sp, det vill säga samma förhållande som mellan den vertikala lutningen och den sneda lutningen.

Demonstrationen av detta består av ett mycket omfattande resonemang om förhållandet mellan statik och dynamik, som faller utanför ramen för denna studie och i det här fallet inte berör oss ; den vilar i den slutliga analysen på den – förutsatta – proportionaliteten mellan /celeritas/ och gravitationen efter de lutande planen, gravitationen i plano mobilis.

Med utgångspunkt från detta påstående når Galilei enkelt svaret på den andra frågan omvandlat till termer hämtade från förhållandena i protokollet för experimentets utformning :

”givet två plan som lutar från samma höjd ; sök förhållandet mellan /celeritas/ av samma rörliga kropp (mobil) förutsatt att ab är det vertikala fallet och att ac och ad är de lutande fallen. Man frågar efter förhållandet mellan /celeritas/ längs ca och /celeritas/ längs ad. Eftersom man visat att /tarditas/ längs ad förhåller sig till /tarditas/ längs ab som da till ab och att ab är till ac som/tarditas/ längs ab är till /tarditas/ längs ac, följer ex equalis att /tarditas/ längs ad förhåller sig som da till ac. Det är alltså tydligt att olika /celeritas/ hos en och samma mobil längs plan med olika lutning förhåller sig till varandra som omvändningen av de sneda fallen till samma vertikala fall.

Den moderna tolkningen : en falsk eller förvirrad text

Historikerna som har studerat denna text har utan undantag kommit fram till att slutsatsen är falsk och bär den peripatetiska dynamikens stämpel.

W.L. Wisan ägnar ett helt kapitel i sin studie av Galileis samlade verk om detta avsnitt i De motu. Sedan hon strukit under att Galilei använder sig av ”centrala idéer som man kan finna i den medeltida traditionen” skriver hon ” Now, the ratio between the lengths of these lines gives the ratio af the speeds along the indefinite lines ef and gh. Galileo assumes the motion along these lines to be uniform, and the distances found measure the speeds because they measure the forces which produce these speeds, not the distance traversed in a given time.”

Wisan tänker sig alltså att texten, enligt Galilei, förutsätter fallet längs de lutande planen som likformig. Jag tänker inte motsäga henne men har två synpunkter på resonemanget.

Den första gäller den stilistiska utformningen. Gång på gång talar Galilei om det ensamstående i /celeritas/ längs ett givet lutande plan (celeritas in ef… tarditas in ad…) Vilket enligt Wisan inte kan tänkas annat än som en likformig rörelse.

Den andra gäller läsningen av början till demonstrationen, av påståendet som jämför den sneda rörelsen med det vertikala fallet. Jag skall för övrigt återkomma till demonstrationen som är grundad på dynamiska resonemang, här räcker det med att påpeka att lösningen till demonstrationen finns i begreppet (statiskt) att en och samma kropp är tyngre <gravius> längs ett lutande plan än längs ett vertikalt plan med förhållandet höjden till längden av den lutande planet (sp:qs när det gäller planet gh) och i hypotesen (där är den förutfattade dynamiken) att /celeritas/ längs två plan är i förhållande till varandra som deras ”gravitation”. Denna proportionalitet mellan /celeritas/ och gravitas förser tydligen Wisan med tanken att ”hastigheten är konstant” eftersom ”gravitationen” hos en kropp är konstant längs samma plan och att likformigheten i rörelsen kommer av detta.

Detta resonemang av Wisan visar tydligt den samfällda bilden av den historiska kritiken av texten. S. Drake uppfattar till exempel ”exept for its treatment of speeds on inclined planes, chapter 14 (of the De motu) was sound” och mer exakt ”(Galileo) retained in 1602 two incorrect assumptions from De motu. There (1) he believed… that acceleration could be neglected in comparing ratios of speeds ; (2) he supposed that for two inclined planes of the same vertical height but different slopes, the speed were inversly proportional to the length of the planes.”

Tydligen utgår P. Galuzzi i sin bok om momentum/momento från att Galilei förutsätter likformighet i rörelsen längs det lutande planet. På samma sätt som Wisan utgår han från proportionalitet mellan kraft och hastighet och skriver : ”il nostro scienzato si è finota sforzato di ricondurre ogni tipo di movimento a forze costanti che producono velocità costanti”.

Drabkin är försiktigare än de föregående i sin kommentar. Som författare till den engelska översättningen av De motu antiquiora, erkänner Drabkin en svårighet i tolkningen, att de galileiska uppfattningarna om velocitas, celeritas och liknande termer inte är uppenbar. A propos resonemanget om nedåtriktade rörelsen hos en mobil i en omgivning undrar han bland annat : ”but what does Galileo mean by the speed of a body which, let us say, is falling freely in a medium ? is not the speed changing at every moment ? Not in Galileo’s view, as we shall see ; in that view acceleration is an external accident and does not persist. Perhaps speed is that which is established when acceleration ceases, but it is not made clear. In some contexts the distance traversed in a fixed time beginning from rest seems to be taken as the measure of speed. But actually, Galileo is not concerned with the speed as such but with the ratio of the speeds of the natural motion of different bodies in the same medium, or the speed of the same body in different media, or of different bodies in different media.”

Drabkin har den förtjänsten att erkänna möjligheten av fler tolkningar av /velocitas/ och att se att en av dem finns definierad som sträckor tillryggalagda under samma tid. Man bör också lägga märke till att det aldrig är fråga om annat än förhållanden mellan /velocitas/ som han konstaterar hos Galilei, aldrig om /velocitas/ själv hos en rörelse. Han drar emellertid inte ut konsekvensen av detta för att pröva en tolkning av kapitel 14 i De motu, vilken även om den verkar mindre anakronistisk för oss än dem vi tidigare citerat, ändå inte är slutgiltig : ”we may understand Galileo’s theorem as stating that the times required for descent are directly proportional to the length of the oblique paths, or, alternately, that the speeds attained in fixed intervals of time are inversley proportional to the length of the oblique paths. In that limited sense the theorem would be sound. But there is no indication that this is what Galileo had in minds, and, in any case, the inadequacy of Galileo’s doctrine of the velocity of the free fall prevents any fruitful generalisation and extension of these results”.

Den galileiska slutsatsen är dock, även för Drabkin, felaktig.

I en ännu senare studie av den samlade galileiska rörelsemekaniken kommer Giusti på samma sätt fram till att rörelserna ifråga i denna passage av De motu är likformiga rörelser som Galilei tilldelar mobilerna (samtidigt som han förklarar dem omöjliga att observera i praktiken) ockrande på vis impressa. Giusti föreställer sig också att Galilei genom att ha funnit /velocitas/ omvänt proportionell mot längden L hos det lutande planet för en given höjd borde ha funderat på det besvärande faktum att tiden borde bli lika med kvadraten på längden : naturligtvis ; om man infogar /celeritas/ längs planet i detta avsnitt av Galilei i formeln för vår medelhastighet L/T, kommer man fram till att T är lika med L² ; jag tänker mig ha visat att ingenting tillåter oss förutsätta att Galilei skulle kunna göra en sådan felräkning.

Sammanfattningsvis ser vi att en enig kritik betraktar den här texten som falsk. Frånsett ett försök av Drabkin, tycks ingen ha misstänkt något problem med tolkningen av /velocitas/.

För att inte utesluta något argument som kan vara av betydelse för den här enigheten måste vi till slut ta upp vad man tänkt vara Galileis eget underkännande av experimentet :

Omedelbart efter slutsatsen framhåller Galilei för läsaren att man inte funnit det väntade förhållandet (i experimentet) och skyller det på felaktigheter i utförandet av detta. Han går så långt i experimentets anda att han, förutom olika typer av friktion, i felaktigheterna också räknar med de effekter som förorsakas av skillnaden i ”gravitas” hos samma kropp längs plan med olika lutning : allt sker alltså som om den verkliga erfarenheten inte hade blivit gjord med samma tyngd längs två skilda lutande plan ; Galilei uppfattar detta (och vi vet att han har rätt) som bidrag till ofullkomligheten i experimentet.

Drake som är övertygad om att Galileis påstående är falskt ser i den skillnad som Galilei erkänner beviset på det falska i hans påstående.

Innan vi går vidare i någon analys, skall vi bara påpeka att Galilei inte låter något sådant vara möjligt, att han tvärtom bejakar de observerade skillnaderna som helt förklarliga och att han slutligen är fullt och fast övertygad om att resultatet är korrekt, i betydelsen av (vid ideala förhållanden i ett experiment : frånvaro av friktion och deformation) de olika /celeritas/ är som planens längd för samma höjd.

Kapitel 14 i De motu läst med den för-klassiska traditionen