Åter

  Realiteter, abstraktioner, fiktioner och fingeringar

  i den mekaniska teorin

  O.E.Westin   

ANDRA AVSNITTET

Dynamiska inskränkningar

    Grundläggande skillnader hos rörelseorsaker

    I det första avsnittet har vi bara ägnat oss åt rörelseförhållanden och inte gått in på deras orsaker. Vi har visat inte bara vad som kan förstås med verklig rörelse, utan också att antalet av dessa rörelser är vida större än det man vanligen förmodar. De delar upp sig i två stora grupper, som i dynamiskt avseende har avgörande skillnader mellan sig. Inom den ena gruppen kan de materiella kropparna bara erhålla begränsade talvärden för sin hastighet och sin hastighetsökning ; inom den andra kan däremot dessa stora talvärden, som också de stora massornas materiella kroppar besitter, vara obegränsade till det oändliga. Rörelserna beträffande de förstnämnda kropparna hänger direkt samman med kraftverkningar ; de senare däremot inte.

    Nobelpristagaren Lorentz har angivit ljusets hastighet till 300 000 km/s som övre hastighetsgräns. Då har han bara sysslat med de av kraftverkningar beroende rörelserna, och kanske funnit den verkliga gränsen. Vare därmed vad det är, resultatet av den ifrågavarande undersökningen innehåller inget som motsäger sakförhållandena i det förra avsnittet, att det ges till dem icke hörande, men dock påverkande kraftverkningar, som är många gånger större än ljusets ; frågan i det ena fallet är en helt annan i det andra.

   Föränderlig tröghetsrörelse.  

    Enligt den Galileiska tröghetslagen är den allmänna uppfattningen om den att en materiell kropp rör sig med oföränderlig hastighet i räta banor, när de, på den verkande krafterna, upphäver varandra. Det förhåller sig emellertid inte alltid så. En sådan tolkning av satsen gäller inte i vissa fall. Vid konstruktionen av turbinpumpen, till exempel, behöver man bestämma den så kallade neutrala vattenvägen, med vars hjälp man kan avgöra skovelprofilen, för att åstadkomma ett så motståndsfritt inlopp för vattnet i löphjulet som möjligt, och man erhåller formen hos en sådan vattenväg under förutsättning att i det här gränsfallet det inte utövas något tryck av vattnet. När det, som vanligtvis är fallet med pumpar, som arbetar utan ledskenor, är denna neutrala vattenväg en Arkimedisk spiral ; hastigheten hos vattnet växer för övrigt på grund av yttre begränsningar hos hjulet i förhållande till det. Trots att krafterna på vattnet i ett sådant fall upphäver varandra och att man alltså har att göra med något som skulle kunna betecknas som tröghetsrörelse, är alltså rörelsen i detta fall i förhållande till det roterande hjulet varken rätlinjig eller likformig. På samma sätt förhåller det sig i ett stort antal fall.

    Men då tröghetsatsen är grundläggande för dynamiken, så ligger i det här fallet ett krav att nå större klarhet i under vilka omständigheter den är giltig eller inte. Detta är en kärnpunkt hos vetenskapen i fråga, och forskningsmålet när det gäller en kropp som befinner sig ’i absolut vila’ är uppenbarligen inte något annat än ansträngningen att finna en lösning på den uppgiften. Men nu finns det, som vi har visat, inte någon absolut vila, man måste alltså slå in på en annan väg än den som hitintills blivit beträdd för att nå det målet.

    Fundamentalsystem och fundamentalrörelser ; beskuren giltighet för den Galileiska tröghetsatsen

    Medan materiella kroppar i allmänhet är utsatta för kraftverkningar, och bland vilka sådana förekommer, som upphäver varandra, så förefaller det oss lämpligt att vid dynamiska undersökningar i varje fall som referenssystem välja en materiell kropp, vars form och storlek, hos vilken varje del förhåller så, som om den var helt fri från kraftverkningar. Ett sådant system är uppenbarligen, förutsatt att det verkligen finns, fullkomligt neutralt i dynamiskt avseende, därför att det uppför sig som om det inte påverkades av kraftverkningar. I förhållande till ett sådant gäller uppenbarligen den Galileiska tröghetslagen, men bara relativt detta. Vi kallar det ett fundamentalsysten (FS) och rörelserna i förhållande till detta fundamentalrörelser (FR). 

    Den framförda tröghetslagen gäller relativt FS medan den verkar för kroppar, vars krafter upphäver varandra, och där det inte finns någon orsak till hastighetsökning ; den beskriver därför i förhållande till detta system en rätlinjig bana och rör sig likformigt i detta. Ytterligare en anledning att betrakta ett så definierat system som ett FS, ligger i att hastigheten i förhållande till detta ligger i att hastigheten relativt den själv direkt bestämmer den kinetiska energin i förhållande till dessa kroppar och omvandlingen av av energin är en kardinalpunkt eller något som är fundamentalt inom dynamiken.

    Det är inte första gången som benämningen FS har föreslagits. År 1883 publicerades en skrift med titels Die physikalischen Grundlagen der Mekanik (Leipzig) där H. Streintz föreslog detta. Vi hade emellertid redan kommit fram till bestämningen av ett sådant system, innan vi lärt känna den skriften. Streintz definierar inte FS på det sätt som det är gjort här ovan. Enligt honom är FS en kropp, som inte är påverkad av främmande inverkningar och inte fullföljer några rotationsrörelser. Till det anför vi att, att det inte är lämpligt att definiera FS på det sättet, eftersom alla fasta kroppar, också ett FS fullföljer i varje villkorligt ögonblick rotationsrörelser, inte bara en utan flera, ja, många, och under dessa några med mycket stor hastighet och hastighetsökning. Det kan i detta fall vara tillräckligt att påminna om att det finns en stor mängd av maskiner, vars delar roterar i förhållande till jorden och att jorden till följd av detta har ett stort antal samtidiga rotationsrörelser, som alla är verkligheter, det vill säga av sådan beskaffenhet att jorden kan grafiskt åskådliggöra banorna hos dess rörelser (se fig. 7a, b, 5 och 6). För alla andra fasta kroppar är detta förhållande analogt. Alla på jorden befintliga kroppar roterar kring fasta eller rörliga axlar ; det är ett oemotsägligt faktum. Om man skulle hålla fast vid en rotationsfri rörelse, skulle det vara omöjligt att hitta ett FS. Men så förhåller det sig inte. Vårt ovan nämnda villkor, att varje del av den i fråga varande kroppen förhåller sig så, som om den var fri från kraftverkningar, är inte bara nödvändig för bestämningar av FS, det är också tillfredställande.

    Vad verkligheten av ett sådant system innebär, så är det uppenbart att det inte finns någon kropp som exakt kan uppfylla de villkkoren, men det är camtidigt uppenbart att det är möjligt att finna många sådana system, som åtminstone närmar sig och med tillräcklig noggrannhet är beskaffade så, och dels förhåller sig så i förhållande till vissa kroppar nästan som ett FS, men som inte gör det i förhållande till andra.

    Jorden kan till exempel i de flesta fall betraktas som ett approximativt sådant system, när det rör sig om rörelser i dess närhet eller på jordytan. Denna kan bettraktas så inom statiken, som ju bara är en del av dynamiken. Så gestaltar sig också saken i en mängd av dynamiska frågor i det här berörda rymdområdet.

    Visserligen är jorden påverkad av kroppar, som rör sig fritt i närheten av dess yta ; dess verkningar är ändå av underordnad betydelse. Numeriskt kan man belysa förhållandet på följande sätt.

    När en kropp, K, som väger 1 k, faller mot marken, så verkar den Newtonska dragningskraften med en kraft av 1 k på jorden. Då nu jordens täthet är 5,6, så väger den omkring

6 000 000 000 000 000 000 000 000 k

    Verkningarna av 1 k på denna massa är per k bara

0, ooo ooo ooo ooo ooo ooo ooo ooo 17 k

    som är en kraftmassa som inte har någon praktisk betydelse. Även när K är tusen miljoner k i stället för en skulle dess vekningar inte spel någon praktisk roll, då man istället för den tidigare kraften skulle få en som var

0, ooo ooo ooo ooo ooo 17 k

verkande och dessa kan sättas = noll.  Då därtill kommer att många fria kroppar samtidigt verkar på jordytan i många riktningar, så upphäver de varandra åtminstone energimässigt förutom att de saknar någon inverkan. Man måste emellertid märkas att man rör sig med närmevärden. Beräkningen av materiella kroppar är för övrigt bara närmevärden, även om de i många fall är mycket noggranna.

    I några fall däremot, som till exempel när det gäller Foucaults pendelrörelse och liknande kan jorden inte ens trots närheten till dess yta, betraktas som ett FS, I ännu högre grad är detta fallet när det gäller uppgifterna i den himmelska mekaniken. Vad man skall ersätta detta system med kräver särskilda undersökningar som vi inte kan gå in på här.

    Följdrörelser

    Eftersom rörelser alltid förekommer parvis, är varje fundamentalrörelse förbunden med en annan rörelse, som inte är beroende av kraftverkningar, och som vi kallar för följdrörelse (FR). När till exempel ett maskinaxel roterar i sitt lager, så roterar lagret och hela jorden kring axeln. Det förstnämnda är en approximativ FR (fundamentalrörele) eftersom den försiggår relativt jorden ; den senare däremot är en följdrörelse oberoende av de krafter som verkar på axeln. N Beträffande dem båda gäller för punkter att avståndet från den geometriska axeln hos axeln i samma grad den kända kinematiska satsen : Läge (sigma) = f(t), hastighet w = d(sigma)/dt bågaccelleration a = dw/dt  och centripetal- eller normal acceleration v = w2r. I dynamiskt avseende förhåller sig saken däremot helt annorlunda : i allmänhet finns det ingen för de fundamentala rörelserna  gällande entydig dynamisk regel för FR. Orsaken till detta är att tröghetsatsen inte gäller för dessa rörelser.  

    Kanske skulle någon då känna sig manad att påstå att man under sådana omständigheter inte hade något att göra med följdrörelserna FR. Det vore emellertid ett stort felslut, därför att följdrörelsens satser är , trots att de enbart är av kinematisk natur, oumbärliga för vissa uppgifter i den teoretiska mekaniken, i dynamiken lika väl som inom kinematiken, och kan inte bara hänvisas till experiment ; de har redan länge varit i bruk, även om under mer eller under underförstådda former. Exempel på deras användning har vi redan i det föregående visat under rubriken ’sammansatta rörelser’.

    Att lägga märke till är för övrigt att FR inte bara förekommer i samband med FB utan också vid andra tillfällen. När till exempel vattnet strömmar genom en arbetande turbinkanal, så ha det en icke fundamental rörelse i förhållande till det roterande hjulet, medan hjulelementen förhåller sig så, som om de inte var påverkade av några krafter. Turbinkanalerna har därigenom en följdrörelse i förhållande till vattnet. I dessa fall gäller visserligen den kinematiska satsen för båda rörelserna ; de dynamiska däremot gäller i sin ursprungliga enkla for inte för någon av dem.

    Begränsad giltighet för den Newtonska tröghetslagen.

    Den välkända satsen för acceleration : accelerationen = den resulterande kraften genom massan hos den accelererande kroppen anses jag vara allmänt giltig. Då nu dess grund är tröghetsatsen, så följer därav på grund av det ovan anförda, att denna sats inte gäller för följdrörelser utan bara för fundamentala rörelser. Giltigheten är alltså, även om den är mycket omfattande, i hög grad beskuren. För att vidare belysa den saken skall vi ge ett exempel.

    Under ett försök med fritt fall låter man en kropp K med vikten G kilo falla efter lodlinjen. Eftersom K i det fallet har en parallellrörelse i förhållande till jorden, så är följdrörelsen, det vill säga jordens rörelse i förhållande till K också en parallellrörelse. Dessa båda rörelser har i motsatt riktning samma hastighet och samma acceleration.. Det kan man visa genom differentiering hos respektive utryck för koordinaterna och för hastigheten. Det är lät att förstå, att detta också kan bevisas experimentellt genom en anordning som beskriver jordens rörelse i förhållande till K samtidigt som samtidigt visar K:s rörelse i förhållande till jorden. Under fallet har alltså jorden en acceleration i förhållande till K en riktad acceleration på g = 9,81 m/sekundkvadrat. Det är däremot inte rätt att säga att jordens acceleration i förhållande till K = G kilo av jordmassan, därför att K inte är någon följdrörelse och att därför den Newtonska accelerationslagen inte gäller i detta fall.

    (Av intresse i detta fall kan vara att Galilei i sina fallförsök bestämde att hastigheten – han försök gällde velocitas – fallhastigheten – avsåg att bevisa att hastigheten är ett förhållande.  Han bevisade detta genom att använda sig av fallhastigheten relativt en rätvinklig triangel. Att dessa experimentella försök först visats vara exakta genom Pierre Souffrin (1992) är ett underbetyg för den vetenskapliga kinematiken. sg)

    Samtidigt måste anmärkas att uppenbara missförstånd ofta förekommer när det gäller mekaniska frågor, och att grunden till dem ligger i att man använder den Newtonska accelerationslagen i sådana fall där den inte gäller.

    Vi skall till slut lägga märke till att begreppet *fast axel’ och ’fast punkt’ bara har en relativ innebörd. En axel kan, även om det behåller sitt läge i förhållande till ett FS, inte gör det i övrigt. Detsamma gäller för den ’fasta punkten’. Det är uppenbart av betydelse all lägga märke till detta vid roterande rörelser.

    Avtagande kinetisk energi vid växande hastighet

    Även i förhållande till giltigheten hos begreppet levande krafter är nödvändiga inskränkningar nödvändiga att ta hänsyn till. Det är nämligen inte under alla omständigheter riktigt att säga att en kropp ökar sin kropps levande kraft, eller sin kinetiska energi.

    En ökning av den kinetiska energin är följd av växande hastighet, bara i de fall det handlar om en fundamental rörelse, annars inte.   

    I en så kallad reaktions- eller övertrycksturbin har till exempel det genom hjulkanalerna strömmande vattnet en ökande hastighet i förhållande till utloppsytan i kanalen som i kanalen efterhand blir mindre och mindre. Den kinetiska energin hos vattnet avtar emellertid, och syftet med turbinen är ju att utnyttja sig av vattnets energi, För vattnets rörelse i förhållande till hjulet gäller alltså inte principen med de levande krafterna.

    Fingerade krafter

    De in den teoretiska mekaniken förekommande kraftöverföringarna har ju till mål en göra möjligt en förenkling av de allmänna undersökningarna och de speciella användningarna och de också flertalet fall inte av teoretisk utan av praktisk betydelse. I det fallet räcker det med att peka på betydelsen av kraftöverföring och betydelsen av den stela kropparna, vilka alla i en kraftgrupp kan ersättas med en enda kraft och ett enda kraftpar, liksom på det praktiska värdet hos transformationer i grafostatiken. Man använder sig där med stor framgång av fingerade, eller bara föreställda krafter i stället för verkliga kraftgrupper, vilka skulle vara mycket obekväma i användningen.

    Utom dessa mycket värdefulla fingeringar förekommer det också andra i mekaniken, om vars natur meningarna kan vara delade. Det är de så kallade ’troghetskrafterna’ eller ’förlorade krafterna’. Vad som kan invändas emot användningen, är enligt vår mening det förhållandet, att de inte är nödvändiga, att de inte för med sig  någon förenkling och att de alltför ofta leder till missuppfattningar och oklarheter. Vi skulle därför förmoda att det vore en fördel om de avskildes från mekaniken. Som ett exempel på det har vi den fingerade centrifugalkraften – inte att förväxla med den verkliga eller Huygenska –har medfört så många oklara föreställningar, att det i hög grad vore att önska att de för alltid ställdes åt sidan.

    Huygenska centrifugalkrafter 

    Begreppet centrifugalkrafter har införts i mekaniken av Huygens (1629 - 1695). Huygens bestämning av denna storhet är, om än inte noga formulerad så i det väsentliga god, och det är bara den som skulle användas. Den är förknippad med begreppet centripetalkraft. Båda gör sig gällande i varje båglinjärt FS alltså i de mest växlande sammanhang : de förekommer dels centriskt och dels excentriskt. Vanligt är att bara lägga märke till den förstnämnda. Med avseende på det huvudsakliga i hithörande förhållanden hänvisar vi till fig. 12, som antyder en runt en vertikal axel roterande rymd, i vilken en kropp K ligger. Trycket P  som kroppen utövar på kärlets vägg, är enligt Huygens  uppfattning den i fråga varande kroppens, K, centrifugalkraft och trycket, --P, mot kärlets vägg mot kroppen, K, är centripetalkraften hos denna kropp.

    I allmänhet skall man lägga märke till :

    1:o) att båda krafterna är realiteter ;

    2;o) att kroppen K:s centrifugalkraft inte verkar på K ; de utgår från K och verkar alltid på något eller flera föremål – i detta exempel på kärlets vägg.

    3:o) att de genom ökning av hastigheten kan nå de högsta talvärden och till följd av detta kan åstadkomma de högsta materialspänningarna, och

    4:o) att de bara förekommer i fundamentalrörelser men inte i följdrörelser.

    I allmänhet anges inte centripetal- och centrifugalkrafterna utan bara dess komponenter. Ett exempel kan ges för att belysa förhållandet.

    På en från den horisontala vågen, A, utgående arm, B, är en vägande kropp, K, fastsatt. Låter man det så sammansatta systemet rotera i en fundamental rotation, så kommer det att i vågens lager C och D uppstå centrifugal- och centripetalkomponenter. De i figuren heldragna linjerna, markerar trycket som utgår från lagerskålarna, är centrifugalkraftens komponenter för kroppen K. De i figuren streckade linjerna, markerar däremot de från lagerskålarna utgående och på tapparna verkande centripetalkraften hos samma kropp. Samtliga dessa komponenter som befinner sig i ett begränsat avlägsnande från K, verkar alltså på andra föremål än tyngdpunkten S hos K.

    Vi skall också ta upp ett exempel på excentrisk verkan.

    En järnvägsvagn, fig. 14, går i en horisontal kurva, och skenorna ligger båda i ett horisontalt plan. Flänsen på det yttre hjulet A trycker mot den yttre skenan utifrån med en i fig. markerad heldragen kraft, P, och denna är den excentriskt verkande centrifugalkraften hos vagnen, Den excentriska centripetalkraften hos den är däremot strecklinjerat tryck riktat inåt, --P, på skenorna mot flänsen på det nämnda hjulet. Det vertikala skentrycket på hjulet ger i avlägsnandet a från vagnens tyngdpunkt S en uppåt riktad vertikal resultant R ~ vagnens vikt. Kraftparet R-a-G  med momentet Ra = Pb, där b är höjden av vagnens tyngdpunkt S över skenorna ger tillsammans med den excentriska centripetalkraften, --P, den för den kroklinjiga rörelsen nödvändiga centrala centripetalkraften, = --P i tyngdpunkten S.

    Vi betonar att också när centrifugalkrafterna är excentriska i förhållande till kroppens tyngdpunkt, verkar den inte på sig själv, utan på en flera andra föremål.

    Fingerad jämvikt enligt d’Alembert

    Det är inom mekaniken att ge de jämviktsförhållanden som d’Alembert för fram som princip, en utomordentligt framträdande roll och säga att den omfattar hela mekaniken. Vi skall åskådliggöra hur man har kommit fram till detta. Vi betraktar då en villkorlig materiell punkt, med massan m och som rör sig i en krökt bana med den totala fundamental-accelerationen phi (j). De på denna massa verkande krafterna kan ju alltid sättas samman till en resultant, P, och denna enda kraft bestämmer ändringarna i den fundamentala rörelsen hos masselementet m. d’Alembert tänkte sig nu att två mot varandra riktade krafter, var och en P verkade och tillfogade mycket riktigt att genom en sådan kraftverkan skulle det inte uppkomma någon ändring i rörelsetillståndet. Han följde därefter tankegången : den med P lika och likriktade och tillfogade  kraften som = m X j för den totala accelerationen för punkten skulle räcka, så måste P och den andra (den så kallade tröghetskraften = -- m X j ) hålla varandra i jämvikt. Därmed försökte han att lösa ett dynamiskt problem genom att förvandla det till ett statiskt och föreställde sig att ha väsentligt förenklat dess lösning. Det måste också erkännas att han vunnit en omfattande anslutning, ja till och med en allmän, så att alla författare i teoretisk mekanik ansluter sig till honom, utan, såvitt vi vet, utan att reservera sig. Det kan därför verka ganska djärvt att komma med invändningar ; vi känner oss tots allt detta manad, att framför vår avvikande menng.

    Vad den förutsatta förenklingen innebär, så är den, enligt vår  mening, bara en fiktion. Vi ställer här nedan bredvid varandra likhetsekvationen för en materiell punkt och bredvid den enligt den fundamentala accelerationssatsen den enligt d’Alemberts princip. Betackningarna är de vanligen brukade,

 fig. 15                                            fig. 16

Fundamental acceleration                          Fingerad jämvikt

Enligt den fundamentala      Enligt jämviktssatsen är      

accelerationssatsen är,           krafterna för en villkorlig

för en villkorlig riktning,      riktning summan av kraft-

komponenten den resul-       komponenterna = noll.

terande kraften = massan      Alltså med avseende på

gånger accelerationskom-      x-axeln :

ponenten i den gällande            

riktningen. Alltså med                Px + (--Px) = 0

hänsyn till x-axeln :                eller eftersom

  Px = m x (d2x / dt2)     (A)              -- Px = --m x (d2x / dt2),

                                                                Px  --m x (d2x / dt2) = 0     (B)

    Då nu, vilket är alldeles naturligt, ekvationerna (A) och (B) inte skiljer sig på annar sätt än att ett uttryck har fått en annan plats, så är ju den ena av dessa likheter inte bättre än den andra. Detsamma gäller uppenbarligen för alla analoga likheter med hänseende på Y- och X-riktningarna. I uppställningen av rörelseekvationerna är därmed så vitt man kan se, inte när det gäller användninga av den ifrågavarande principen – ingenting vunnet.

Nu säger man kanske, at en likhet är lika bra som en annan, alltså finns det ingen anledning till kritik. På det svarar vi : Ekvationerna (A) och (B) har visserligen samma innehåll, däremot är intet att invända, de har samma innehåll, vore det inte annat än skillnaden i uppställning. Men vi vill betona att det finns en olägenhet i att ersätta en verklighet med en fingering särskilt när men med den inte har vunnit något. Det är ofördelaktigt därför att man, kanske inte av upphovsmannen, men av andra ger den uppfattningen när det gäller andra, har givit en felaktig bild av rörelsefenomenen. I nittionio fall av hundra kommer genom den allmänna användningen förutsättningarna för principen att glömmas bort. Man inbillar sig att den så kallade tröghetskraften – mj verkar på punkten m och att m verkligen befinner sig i jämvikt; men får alltså en fullständigt felaktig uppfattning av de förhållanden som gäller.

    Det är inte riktigt att som vanligt säga till exempel att  : centrifugalkrafterna verkar på punkten, och att punkten (som rör sig accelererande i en krökt bana) är i jämvikt under inverkan av centrifugalkrafter, vilket är detsamma som att säga att punkten rör sig i en likformig rät bana, medan dess rörelse i själva verket följer en krökt linje och samtidigt ha tangentialaccelerationer, medan den måste ha en centripetalacceleration.

    Den vanliga bennämningen av ’centrifugalpump’ för an vanligt förekommande vattenlyftningsmaskin, (turbinpump) är likaledes en illustration till en felaktig uppfattning. Denna benämning har sitt ursprung i åsikten att vattnets centrifugalkraft utgör drivkraften hos maskinen ; det borde emellertid nu vara lätt att inse att den från hjulskovlarna utgående och på vattnet utgående kraften svarar för transporten av vattnet. 

    Vi är av den åsikten att d’Alemberts princip vara skulle komma till användning när man inte kan komma till målet på något annat sätt. Men vi fruktar att ett åsidosättande av denna princip skulle för mekaniken innebära detsamma som det som gäller den enskilda punkten i väsentligt också gäller för punktsystem i allmänhet.

    Fördelen att, i stället för att ta omvägen via d’Alemberts fingering, ta raka vägen, ligger i det att man räknar med realiteter, det vill säga verkliga förhållanden, och att man därigenom får en tydligare uppfattning i saken om vad som är möjligt att åstadkomma och att det onödiga begreppet tröghetskrafter och förlorade krafter blir överflödiga. I det fallet har man bara att i det valda punktsystemet i uträkningen för in verkande krafter och nte med krafter som inte verkar på det av vilket sslag de än vara må. Om man ordentligt följer detta, så vinner behandlingen största möjliga klarhet, och att detta är önskligt, borde man utan vidare kunna inse.

    I de fall då det är en fördel att räkna med så kallade tillsatskrafter, måste dessa vara tydligt angivna och även orsaken till att man använder sig av dem. Exempel :

    1. Konisk pendel, fig. 17Hur en sådan är inrättat är allmänt känt. Vi väljer klotet, K, som punktsystem De på den verkande krafterna år dess vikt, G, och den ovanifrån verkande sneda spänningen, S, i tråden, F. Utslagsvinkeln betecknar vi med a, den konstanta banradien med r och den likaså konstanta klothastigheten med v.

Fig. 18                                                  fig. 19

Faktiska förhållanden                    Fingerand jämvikt

De krafter som är riktade              Utom de krafter som de mot på K, och verkar mot banans                          centrum verkande krafterna har

centrum har en resul-                      vi att räkna med den fingerade

terande kraft :                                    centrifugalkraften

       R = Gv2 / gr                                          Z = Gv2 / gr      

och enligt den fundamen-               som anbringas i kulans tyngdpkt

tala accelerationsatsen                      utåt efter den utvärtes verkande

                                                  banradien. Om man projicerar

      Gv2 / gr = G tg a                               krafter i Z riktning får man 

                                                                          Z – S sin A = 0  eller

                                                                           (Gv2 / gr) – S sin a = 0

                                                                    som också kan skrivas

                                                                            (Gv2 / gr) – G tg a = 0

    2. En järnvägsvagn passerar en horisontal kurva, där som vanligt den yttre skenan är högre passerad än den inre för att förhindra flänstrycket från hjulen, så att vagnen får en viss lutning, a, mot lodlinjen. Vagnhastigheten i förhållande till skenorna har det numeriskt konstanta värdet, v, och banradiens krökning är (ro). Man har att lösa accelerationsekvationen.

    Skall uppgiften lösas med hjälp av accelerationsatsen, kan märka att krafterna som verkar på vagnen, fig. 20, är följande :G,  och skentrycket vagnsvikten, N1 och N2, på hjulparet. Sammansättningen av krafterna G, N1 och N2, ger i vagnens tyngdpunkt, S, den för rörelsen nödvändiga centripetalkraften R                                                                          = Gv2 / g{ro}. 

 Rörelsebetingelserna blir därigenom

                             Gv2 / g{ro} = G tg a eller = (N1+N2) sin a.

    Vill man däremot lösa uppgiften enligt d’Alemberts princip, så har man att tillägga de på vagnen verkande fingerade centrifugala krafterna

                             Z = Gv2 / g{ro} ,

    Om man måste tänka sig placerad i vagnens tyngdpunkt, S, och riktad utåt fig. 21.

    Den fingerade jämvikten mellan skentrycksresultanten mellan R (=N1 +N2), G och Z ger genom projicering i Z-riktningen ekvationen

    Gv2 / g{ro} – (N1 +N2) sina = 0, eller Gv2 / g{ro} – G tg a = 0.

    Uträkningen är ju de båda anförd exemplen lika lätt att utföra ; i första fallet ägnar man sig åt en realitet, i det andra däremot med en fingering. Om man skulle äga att de på vagnen fungerande G, N1 och N2 ger vagnen dess centripetala kraft är riktigt, men att förmoda att dessa krafter hålls i jämvikt av de centrifugala kraft är inte korrekt. Den sistnämnda kraften verkar nämligen på Järnvägsskenorna och inte på vagnen. Skulle de av hjulen på skenorna verkande, underifrån riktade trycken -- N1 och --N2 förläggas i horisontal- och vertikalkomponenter, fig. 22 och summerar men de första komponenterna, så får man vagnens excentriska centrifugalkraft. Önskar man vidare bestämma den centriska, genom tyngdpunkten, S gående centrifugalkraften så skall man sätta samman de underifrån verkande trycken -- N1 och --N2 med från ovan riktade jordreaktionen, vagnens vikt –G. Man måste emellertid lägga märke till att varken de centriska eller de excentriska centrifugalkraften verkar på vagnen ; båda är faktiska resultanter av krafter som verkar på jorden.  

    Alldeles analogt ställer sig bestämningen av centrifugalkraften hos den ovan nämnda pendelkulan. Man har där att sätta samman den underifrån riktade spänningen, --S, som verkar på den övre delen av tråden, och den ovanifrån riktade på jorden verkande tyngdreaktionen, --G. Den resultant som man då erhåller, --R, är kulans centrifugalkraft, men den verkar inte på kulan, utan på ett punktsystem, som består av jorden och den roterande pendelvågen med tråden.

---------------

    Slutlig anmärkning

    I det föregående har vi lämnat några kritiska anmärkningen när det gäller vanliga åskådningar i den teoretiska mekaniken och visat att det med dessa är förbundet vissa beaktansvärda missförhållanden. Vår framställning är emellertid inte bara negativ ; vi har samtidigt också bemödat oss att erbjuda något nytt, något uppbyggande och därigenom försökt att bringa ljus över en del dunkla punkter i rörelseläran.

    Vi har visat vad man måste förstå med grundbegreppet rörelselära och har därmed löst dessa sedan årtusenden svävande frågor. Vi har dessutom påvisat realitetsfrågar och rörelseparen, dels i allmänhet teoretiskt dels praktiskt genom att hänvisa till den ömsesidiga avnötningen och möjligheten att låta kroppar teckna den rörelse de har. Påvisat fiktionen om ”den absoluta rörelsen”. Genom att ta hänsyn, inte bara till den fundamentala utan också följdrörelsen, vilken senare likaväl som den förra är otalig, och på samma sätt av både praktisk och teoretisk betydelse, har ämnet teoretisk mekanik i stort sett blivit utvidgat. Utvidgningen påverkar emellertid åt andra hållet en nödvändig begränsning som angivits ovan när det gäller grundsatserna för dynamiken; tröghetssatsen, satserna för den dynamisk accelerationen och principerna för den levande kraften. Fördelarna med direkt behandling at de dynamiska uppgifterna har betonats och blivit belyst med exempel, så också missförstånden som uppstår och får fäste genom dem., när man ger sig in på trollerikonsten att omvandla dynamiska uppgifter till statiska.

    Även om vår avhandling bara är en skiss, så betraktar vi den, på grund av de i densamma framförda tungt vägande fakta, som en impuls till ett i skilda riktningar i tiden visat behov av en översyn av den teoretiska och praktiska mekaniken.  

Home